Barion Pixel

A kamat és a kamatszámítás

A kamatszámítás hatása a pénzedre

A kamat nem más, mint a pénz használatának a díja. Nem mindegy viszont, hogy milyen módon számítjuk ezt a díjat. A kamatszámítás mikéntje ugyanis erősen hatással van a végeredményre.

Kamat és kamatszámítás

Jelölések a kamatszámítás során

Mielőtt belevágunk, nézzük meg, hogy melyik rövidítés mit jelent.

FV: Future Value, azaz jövőérték. Ennyi pénzed lesz a kérdéses időszak végén.
PV: Present Value, azaz jelenérték. Ennyi tőkével rendelkezel éppen most. Szokták C-vel, mint Capital is jelölni.
r: a növekedési ráta. Ezt kifejezheted %-os, vagy éppen tizedestört formában. Ha kiegészítő információ nélkül látod, akkor mindig éves mértéket fejez ki. Akkor is, ha éppen te 3 hónapot számolsz.
n: a periódusok száma. Szokták még t-vel, mint time is jelölni. Alapesetben itt is az évek számát jelöli.

A kamatozás módja fontos, így erről az MNB is készített egy nagyon hasznos és jól sikerült oktatófüzetkét.

Egyszerű kamat

Egyszerű kamattal a banki lekötéseknél valamint kötvények kamatfizetésekor találkozhatsz a leggyakrabban. Beviszed a pénzedet a bankba, lekötöd, majd az időszak végén megkapod a megszolgált kamatot. Ezt a kamatot felveszed és más helyet keresel neki, csupán az eredeti tőke dolgozik tovább.

Az egyszerű kamat számítása

FV = PV * ( 1 + r*n)

Itt figyelj a zárójelen belüli műveleti sorrendre. Azaz először a szorzás, majd az összeadás jön.

Példa az egyszerű kamat számítására

Van 100.000 forintod, amit lekötsz 5 évre egy olyan helyre, ahol garantáltan megkapod rá a 10%-os kamatot. Ha az egyszerű kamatot használod, akkor a megszolgált kamatodat minden évben felveszed, és csak az alaptőke dolgozik tovább.

Mivel a tőkében nincs növekedés, így a végeredmény szempontjából az egyszerű kamatnál mindegy, hogy 10% dolgozik 5 évig, vagy 5% dolgozik 10 évig.

FV = 100.000 * (1+0,1*5)

Ha a műveletet elvégzed, akkor megkapod, hogy az egyszerű kamat használatával az időszak végére 150.000 forintod lett.

150.000 = 100.000 * (1+0,1*5)

Nem rossz, de nézzük tovább.

Kamatos kamat

Addig, amíg az egyszerű kamatnál csak a te eredeti tőkéd dolgozik, a kamatos kamatnál már a megszolgált kamatod is dolgozik. Azaz ami kamatot kapsz, azt nem veszed fel, hanem a tőkédhez hozzárakod, hogy arra is kapj kamatot. Ezáltal gyorsabban növekszik a vagyonod.

Ezzel a módszerrel találkozhatsz banki lekötésnél is, amikor a betét fordulónapján a megszolgált kamatot nem a folyószámládra vezetik át, hanem ugyanúgy visszakötik a betéthez. Emellett találkozhatsz a kamatos kamat elvével akár értékpapíroknál is, amikor az elért nyereséget nem éled fel, hanem ugyanúgy valamilyen értékpapírt veszel belőle, hogy azon is nyerhess.

 

 

A kamatos kamat számítása

FV = PV * (1+r)n

Láthatod, hogy itt már nem sima szorzásról, hanem hatványozásról beszélünk. Ha az előző példa számait helyettesítjük be, akkor már szembetűnő a különbség.

161.051 = 100.000 * ( 1+0,1)5

Nem mindegy azonban, hogy egy éven belül a kamatos kamatot hányszor tőkésíted.

Számold ki a saját pénzed változását a Silver Moon kamatos kamat kalkulátorával.

Kamatos kamat számítása évente többszöri tőkésítéssel

Ennek az alkalmazásánál kiemelten figyelj arra, hogy a kamatláb éves mértékben van megadva. Így ha éven belül többször is tőkésíted a kamatos kamattal dolgoztatott pénzt, akkor a kamatlábat a periódusok számának növelésével arányosan csökkentsd.

Ha képlettel szeretném felírni, akkor azt így tudom megtenni:

FV = PV * (1+ r/m)m*n

Itt az m az éven belüli periódusok számát jelöli. Azaz ha félévente kötöd újra, akkor 2, ha negyedévente, akkor 4 , ha havonta, akkor az m 12 lesz, míg ha mondjuk hetente, akkor 52.
A képlet segítségével akár napi kamatot is számolhatsz, ezt teszi a bank is, ha késedelmes fizetésbe esel.

Kamatos kamat számítása féléves lekötésnél

Ha féléves időszakokra kötöd le a pénzedet 5 éven át, akkor két feladatod van. Először is az, hogy a periódusok számát duplázd, mivel kétszer gyakrabban kapsz kamatjóváírást. A másik teendőd pedig az, hogy a kamat mértékét pedig ennek megfelelően felezd, mivel félév alatt csak a felét kapod meg az éves jóváírásnak.

162.890 = 100.000 * ( 1+0,1/2)2*5

Kamatos kamat számítása havi lekötésnél

Ez a féléves számításhoz hasonlóan történik annyi különbséggel, hogy itt 12 alkalommal történik kifizetés egy éven belül, viszont a megszolgált kamat mértéke az éves mértékhez képest csak tizenketted annyi lesz.

164.530 = 100.000 * ( 1+0,1/12)12*5

Láthatod, hogy itt még nagyobb eredmény érthetsz el úgy is, hogy sem az általad befektetett tőke sem pedig az időtáv nem változik.

 

A kamatozás módjai közötti eltérés jelentősége

Ha jól megnézed az egyszerű kamatozás, a kamatos kamat, valamint az éven belüli kamatos kamat közötti különbséget, akkor láthatod, hogy eltérő végeredményre jutottál. A kamatos kamat számodra annyit jelent, mintha nagyobb kamatra kötötted volna le a pénzedet ugyanakkora kockázat mellett.

Egyszerű kamat és kamatos kamat

Ez hitel oldalon is igaz, mivel ott is havonta fizeted a kamatot. Minél hosszabb a futamidő, annál több ideig fizetsz a banknak kamatot. Mivel a magasabb elért eredmény igaz volt a befektetések oldalán is, a hitelek oldalán is igaz lesz. Hiába írja ki a bank, hogy 10% a kamat, ha havonta fizetsz, azon ő valamivel többet fog nyerni.

Nem mindegy azonban, hogy csak számszakilag nő a pénzed, vagy tényleges értékben is.

A reálkamat

Amikor a pénzedet elhelyezed bárhova is, akkor a fő kérdésed nem igazán az, hogy mennyi kamatot kapsz rá. Bár ezt kérdezed meg, és ezt is írják ki a tájékoztatókon, de emögött jellemzően az szokott lenni, hogy mennyivel jársz jobban akkor, ha nem költöd el most a pénzedet, hanem befekteted bárhova is.

Ezt a vásárlóérték változás mutatja, azaz a lekötési időszak végén a pénzedből többet , vagy kevesebbet tudsz vásárolni a mai értékhez képest. Ezt mutatja meg nekünk a reálkamat.

Reálkamat = ((1+ Nominál kamat) / (1+Inflációs ráta)) – 1

A nominál kamat az a kamat, amit megkapsz számszerűen. Ezt szokták kiírni a tájékoztatókon. Most viszont nem a számszaki változást szeretnénk látni, hanem a vásárlóerő változást. Épp ezért korrigáljuk az infláció mértékével.
Az inflációs ráta nehezebben megfogható, mint a nominál kamat, ráadásul mindenkinél kicsit más. Függően attól, hogy mit és hol szokott vásárolni.

A reálkamat értelmezése

A reálkamat képletében a tényleges növekedést és az infláció tényleges hatását vesszük figyelembe. Azaz nem a kamatlábat és az inflációs ráta arányát nézzük, hanem azt, ami ekkor a vásárlóértékkel történt. Ezért szükséges a törtnél az 1-et hozzáadni. A végén viszont a reálkamat mértékére vagyunk kíváncsiak, így a 100%-ot (azaz a befektetett tőkét) jelző 1-et kivonjuk belőle. Mivel történ egy kivonás, így az értéke lehet negatív, pozitív, illetve pont 0.

Pont 0 értéknél: nem változik a vásárlóerő, azaz ma pont ugyanannyit vehetsz belőle, mint 1 év múlva.
Negatív értéknél: csökken a pénzed vásárlóértéke, azaz vagy válassz egy jövedelmezőbb befektetést, vagy költsd el most a pénzt.
Pozitív értéknél: növekszik a pénzed vásárlóértéke, azaz ebből a szempontból jó helyre fektetted be.

A reálkamat számítása

Tegyük fel, hogy az infláció 4%. Mivel mind az inflációt, mind a kamatot éves mértékben fejezzük ki, így alapesetben a reálkamat is éves mértékben fog kijönni.
Ha az iménti példa számait visszük tovább, akkor a képlet így fog kinézni:

5,77% = ((1+0,1 / 1+0,04 )) -1

Itt ennél a példánál növekedett a pénzed értéke.

A reálkamat alakulása a banki lekötésnél

Ez a 4%-os infláció nagyjából a KSH által kimutatott szintnek felel meg. Ha egy hagyományos banki lekötést nézünk meg, napjainkban szokásos nagyjából 0,5%-os csúcskamattal, akkor ez a számítás így alakul át:

-3,37% = ((1+0,005) / (1+0,04)) -1

Láthatod, hogy a bankban lekötve a pénzed veszít az értékéből.

A kamatfaktor

A kamatfaktor megmutatja, hogy hányszorosára nőtt a pénzed az adott időtartam alatt.
Az egyszerű kamatnál és a kamatos kamatnál eddig előre megadott kamatlábakkal számolhattál, ezt általában az EBKM vagy épp az EHM megadja neked. Az élet viszont hozhat változásokat és nem feltétlen áll ez az információ a rendelkezésedre. Ilyenkor szükséges lehet, ha te magad is meg tudod határozni a növekedés mértékét.

A kamatfaktor számítása egyszerű kamatnál

Ekkor nincs túl nagy dolgod, a végére elért összeget osztod a befektetett tőkével, majd évesíted. Azaz osztod az évek számával.

((FV / PV)-1) / n = ((150.000 / 100.000)-1) / 5= 10%

Itt a -1 szintén az eredeti tőkét vonja ki, hogy már csak a kamat mértéke maradjon neked.

Kamatos kamatnál már nem ennyire egyszerű, mivel ott hatványoztuk a növekedés mértékét.

A kamatfaktor számítása kamatos kamatnál

Így ha pontos összeget akarunk kapni, akkor a hatványozást kell visszafelé elvégezni, azaz gyököt kell vonni. Mivel itt az évek száma volt a hatványkitevő, így a gyökvonást is ennek megfelelően végezd el. Azaz ha 5 éven át dolgozott a pénzed, akkor 5. hatványra emelted, most pedig 5. gyököt vonsz belőle.

5(161.051 / 100.000 ) -1

Ha elvégzed a műveletet, akkor láthatod, hogy itt is kijön a 10%.

A folyamatos kamatozás

A folyamatos kamatozással logaritmikus hozam néven is találkozhatsz, bár a hétköznapi életben nem feltétlen fogsz vele találkozni. Ennek annyi oka van csak, hogy vannak számodra kényelmesebb megoldások is.

A folyamatos kamatozás kialakulása

Az 1960-as évektől több helyen bevezették mind a betét, mind pedig a hitel oldalon a kamatplafont. Azaz egy bizonyos növekedésnél többet a bankokban nem tudtál elérni a befektetéseden, valamint a bank sem kérhetett tőled többet.
Ez a szabályozás viszont semmit sem mondott a kamatfizetés gyakoriságáról. A kamatos kamatnál már láttad, hogy minél gyakrabban történik a kamatfizetés, az olyan, mintha magasabb éves kamat lett volna felkínálva. Így eleinte féléves, majd havi kamatfizetést is bevezettek mindenhol.
Miután ez elterjedt, az egyik szemfüles cég bevezette a folyamatos kamatozást. Azaz mintha a kifizetések folyamatosan és egyenletesen jönnének egész évben.
Ezt mutatja meg a logaritmikus hozam.

A folyamatos kamat számítása

Mivel a folyamatos kamatozás gyakorlatilag a kamatos kamat kissé felpörgetve, így a képlete is ebből fog kiindulni.

FV = PV * (1*r/m)m*n

Mivel a kamatlábat éves mértékben határozzuk meg, és most is 1 évre szeretnénk megmondani ennek mértékét, így az n értéke 1 lesz, azaz elhagyhatjuk a felírásból.

FV = PV * (1*r/m)m

Az m viszont végtelenhez tart, mivel tetszőlegesen kicsi időközönként (azaz minden pillanatban) feltételezzük a kamatfizetést.
Mondhatnád, hogy ez nagyon sok számítási feladatot, meg más munkát igényel, elvégre itt az m a végtelenhez tart. Ezt viszont okos emberek már nagyon is leegyszerűsítették a határérték számítással.
Mielőtt belebonyolódnánk a matekba a határérték számításnál, fogadjuk el a matematikusok számítását. A határértéke 2,718r.

A 2,718 pedig egy matematikai állandó, ez a természetes alapú logaritmus alapja. Becsületes nevén Euler – féle szám, így jelölése e.

Tehát folytonos kamatozás mellett az éves kamatlábad er.

Ha m a végtelenhez tart, azaz tetszőlegesen kicsi időközönként van kamatfizetés, akkor a képlete így néz ki:

FV = PV * er*n

Példa a folyamatos kamatozásra

Ha folyamatos kamatozásra az első példa 100.000 forintját lekötöd 1 illetve 5 évre, akkor az így fog kinézni.
1 éves lekötésnél a pénzed így alakul :

FV = 100.000* e0,1 = 111.626

5 éves lekötésnél pedig:

FV = 100.000* e0,1*5 = 164.863

Láthatod, hogy itt is van egy minimális eltérés a végeredményben.

Egyszerű kamat, kamatos kamat és folyamatos kamatozás hatása

Összefoglalás

A kamatos kamatot használod a leggyakrabban a banki lekötéseknél és a hiteleknél, elvégre a bank is ez alapján határoz meg mindent. Ha a magad hasznára akarod fordítani, akkor befektetésnél minél gyakoribb tőkésítést válassz. Minél többször tőkésedik a pénzed, annál nagyobb lesz az elérhető hasznod. Ennek egy elméleti teteje az adott kamatláb mellett a folyamatos kamatozás. Ezzel a való életben nem nagyon fogsz találkozni, mivel a kamatfizetés gyakorlati kivitelezése lehetetlen. A pénzügyi szakemberek is opciók árazásánál és összehasonlításoknál használják.

Kérdések:

  1. Te melyik kamatszámítással találkoztál eddig?
  2. Mit gondolsz, a befektetések esetén, amikor árfolyamnyereséged keletkezik, hogyan tudod a fentieket használni?
  3. Hogyan terveznéd meg a saját befektetéseidet a kamatszámítás segítségével?

Ha szeretnéd megfelelő döntést hozni vagy csak képben lenni, lépj velünk kapcsolatba, hogy időpontot egyeztessünk ehhez.

Ha tetszett a cikk, lementheted a SlideShare-ről is:

 

Friss adatvédelmi tájékoztatónkban megtalálod, hogyan gondoskodunk adataid védelméről. Oldalainkon HTTPS-sütiket használunk a jobb működésért.